グラフ神経ネットワーク

隣接行列

資料：
https://www.bilibili.com/video/BV1iT4y1d7zP/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=99babd80fd00a8cf96fc562811962382

グラフ神経ネットワークの層数は計算グラフの層数であり、神経ネットワークの層数ではない。
グラフ神経ネットワークが非常に深い場合、各ノードの値は同じになるため、深くすることはできず、一般的には 2 層または 3 層である。

v ノード周辺のノードを見つける方法（行列表示）、

A 波線行列、あなたのグラフが与えられれば、それは確定的であり、その後、多くの GNN の論文に登場する。

以前の計算グラフでは、A ノードは他のノードの情報を集約することしかできず、自分自身の情報を取得して自分を表現する必要がある。

以下の 2 つの式は等価であり、下では領域ノードと自分のノードを分けて書いている。しかし、彼らは共通の重みを使用している。

以下の画像は領域ノードと自分のノードに 2 つの重みを使用している。

教師あり学習
回帰タスクの損失関数定義

分類タスクの損失関数定義

教師なし学習（グラフ自身の結果を監視として使用）

一、グラフ神経ネットワーク（GNN）核心知識のまとめ#

1. グラフ神経ネットワークは何をしているのか？#

一言で定義：

グラフ神経ネットワークは、グラフ構造上で、繰り返しの「隣人情報の伝達と集約」を通じて、ノード、エッジ、または全体のグラフ表現を学習する神経ネットワークである。

それが解決するのは：
非規則構造データ（グラフ）がどのように学習可能な表現学習を行うか。

2. グラフ神経ネットワークの基本フレームワーク#

全体の流れ#

グラフ構造 + ノード特徴
        ↓
多層メッセージ伝達（Message Passing）
        ↓
ノード / エッジ / グラフの表現
        ↓
リードアウト層（予測ヘッド）
        ↓
損失関数 + 逆伝播

3. メッセージ伝達（Message Passing）の本質#

各層のメッセージ伝達は 3 つのステップを含む：#

メッセージ構築（Message）
隣人ノードの特徴が、学習可能な変換（線形層 / MLP）を経て
メッセージ集約（Aggregate）
すべての隣人のメッセージを一つにまとめる（Sum / Mean / Max / Attention）
ノード更新（Update）
集約された結果を用いて、現在のノードの表現を更新する（神経ネットワーク）

その中で：

神経ネットワークは主に：メッセージ構築とノード更新に現れる

集約自体は通常無パラメータである

4. なぜメッセージ伝達に神経ネットワークを使用するのか？#

もし神経ネットワークを使用しない場合：

固定の隣人統計を行っているだけ
グラフ上の拡散 / 平滑化に相当する
情報は：
- 爆発するか
- 消失するか
- 最終的にすべてのノードが同じになる（過平滑化）

神経ネットワークを使用する意義：

モデルが学ぶことを可能にする
「どの隣人が重要で、情報をどう使い、どれだけ変えるべきか」。

5. 主流の GNN モデルの違い（GCN / GraphSAGE / GAT / R-GCN）#

結論：

それらはすべてメッセージ伝達モデルであり、
違いは：メッセージの伝達方法、集約方法、隣人の区別方法にある。

モデル	主に解決する問題
GCN	すべての隣人を平等に扱う
GraphSAGE	隣人が多すぎる、サンプリング
GAT	異なる隣人の重要性が異なる
R-GCN	異なる関係タイプ

6. GCN における正規化隣接行列#

重要な公式#

A_{\text{sym}} = D^{-1/2} A D^{-1/2}

人間の言葉で理解#

グラフ上の情報伝達に「速度制限器」を加え、
隣人が多いノードの声が大きくなりすぎないようにする。

7. 「最大固有値 = 1」とはどういう意味か？#

直感的な説明：

固有値 ≈ 情報伝達の「拡大倍数」
最大固有値 = 1 は意味する：
- 情報は伝達されるにつれて大きくならない（爆発しない）
- また、伝達されるにつれて小さくならない（消失しない）

これは GCN の数値安定性の根源である。

8. 固有値の直感的理解#

一言で：

固有値は次のことを記述する：
ある操作が特定の「情報方向」に対してどのように拡大または縮小するかの比率。

GNN において：

隣接行列を繰り返し掛けること = 情報を繰り返し伝達する
最大固有値は伝達が安定するかどうかを制御する

9. 残差接続（Residual Connection）#

定義#

h^{(k+1)} = h^{(k)} + F(h^{(k)})

本質的な理解#

ネットワークは「結果」を直接学ぶのではなく、
「元の表現に対する変化量（残差）」を学ぶ。

GNN における役割#

過平滑化を防ぐ
ノード自身の情報を保持する
より深いネットワークをサポートする

10. なぜ「残差接続」と呼ばれるのか？#

「残差」は数学の概念から来ている：

残差 = 実際の値 − 現在の推定値

ネットワークでは：

ネットワークが学ぶのは 出力 − 入力
ではなく出力そのものではない

11. リードアウト層（Readout / Head）#

異なるタスクのリードアウト方法#

ノードタスク：ノード表現を直接使用
エッジタスク：2 つのノードの表現を組み合わせて使用
グラフタスク：すべてのノードを再度集約する（Sum / Mean / Attention）

12. 回帰ヘッド / 予測ヘッドとは何か？#

一言で翻訳：

「ヘッド」とは、モデルが最終的に答えを出すための小さなネットワーク部分である。

バックボーン：表現を学ぶ
ヘッド：表現をタスク出力に変換する

13. パラメータと損失関数はどこにあるのか？#

学習可能なパラメータは主に：#

メッセージ構築（線形層 / MLP）
注意重み（もしあれば）
ノード更新
予測ヘッド

損失関数：#

最終出力に定義される
逆伝播を通じてすべてのパラメータを更新する

二、学習過程で提起した重要な疑問の整理#

以下の部分はブログに直接書くのに非常に適している、あなたの学習経路を反映している。

1. グラフ神経ネットワークとは何か？#

2. メッセージ伝達とは何か？なぜこのように設計されているのか？#

3. メッセージ集約は具体的に何をしているのか？#

4. なぜメッセージ伝達に神経ネットワークが使用されているのか？#

5. GCN、GraphSAGE、GAT、R-GCN の主な違いは何か？#

6. メッセージ伝達における神経ネットワークは具体的にどのように使用されているのか？例を挙げられるか？#

7. 神経ネットワークを使用せずにメッセージ伝達だけを行った場合はどうなるのか？#

8. リードアウト層（Readout）とは何か？異なるタスクではどのように使用されるのか？#

9. GNN のパラメータは主にどの部分が更新されるのか？#

10. 損失関数はモデルのどの部分で定義されているのか？#

11. GCN でなぜ $D^{-1/2} A D^{-1/2}$ を使用するのか？#

12. 「最大固有値が 1 である」ことはなぜ数値安定を意味するのか？#

13. 固有値とは何か？線形代数を使わずに理解できるのか？#

14. 残差接続とは何か？なぜ GNN にそれが必要なのか？#

15. なぜ「残差接続」という名前なのか？#

16. 回帰ヘッド / 予測ヘッドとは何か？#

三、まとめ#

グラフ神経ネットワークの核心は複雑な公式ではなく、素朴な思想にある：
ノードは構造を通じて互いに影響し合うが、構造に飲み込まれることはない。
メッセージ伝達は情報を伝播し、神経ネットワークはルールを学習し、
正規化と残差はシステムの安定性を保つ。